Halaman
Kelas X SMA/MA/SMK/MAK176Untuk menemukan panjang BC, gunakan sin 60o.sin 60o = BCBD↔ 3=24BC⇔ BC = 23 cmJadi, luas segitiga ABD adalah ××2823== 83 cm22ADBC4.5 Identitas TrigonometriPada subbab ini kita akan mengkaji ekspresi perbandingan trigonometri selain atau/dan menggunakan nilai perbandingan trigonometri yang telah kita temukan. Pengetahuan dasar yang diperlukan pada subbab ini di antaranya definisi perbandingan trigonometri dan Teorema Pythagoras.Coba cermati masalah berikut ini.Masalah 4.10Diketahui suatu segitiga ABC, siku-siku di C. Misalkan ∠A = αrad, ∠Bbrad, AB = c, dan AC = b.Selain perbandingan trigonometri dasar, temukan ekspresi antara (sin α)2 dengan (cos α)2 atau dengan (tan α)2.Alternatif PenyelesaianPada segitiga ABC, seperti pada Gambar 4.34, diperoleh bahwac2 + a2 + b2Selain itu, kita juga dapat menuliskan bahwaa. sin α = ac, cos α = bc, dan tan α = abAkibatnya, (sin α)2 = sin2α = 222=aaccGambar 4.34 Segitiga siku-siku ABCAbcαaCBb
Matematika177(cos α)2 = cos2α = 222=bbccPenekanan yang dapat dibentuk, yaitui. sin2α + cos2α = 222222222++===1ababcccccJadi, sin2α + cos2α = 1 (1*)ii. Dengan persamaan (1*), jika ruas kiri dan kanan dikalikan α21sin, dengan sin2α≠ 0, maka diperoleh×αα×αα222211sin +cos=1sinsin⇔α ×ααα α2222 211 1× sin+cos=sinsinsinα⇔αα222cos11+=sinsinKarena α115==3sin 35 = csc α, α21sin = csc2α, dan cos sin αα = cot α, makaα↔αα222cos11+=sinsin = cot2αAkibatnya, α⇔αα222cos11+=sinsin⇔ 1 + cot2α = csc2α(2*)iii. Dengan menggunakan persamaan (1*), jika ruas kiri dan kanan dikalikan dengan α21cos, maka diperoleh×αα×αα222211sin +cos=1coscos
Kelas X SMA/MA/SMK/MAK178⇔ ××ααα2222 211 1sinα +cos=cosαcossinα⇔αα222sin1+1 =coscosKarena α1cos = sec α, ↔× α×αααα22222111sin +cos =coscossin = sec2α, dan ααsin cos = tanα, maka ααα222sin= tancosAkibatnyaα⇔αα222sin1+1 =coscos⇔ tan2α + 1 = sec2α (3*)b. sin b = bc, cos b = , dan tan = baDengan cara yang sama, diperolehsin2b + cos2b = 11 + cot2b = csc2b, dan tan2b + 1 = sec2b.Perhatikan hasil yang diperoleh pada bagian a dan b. Setiap penekanan di atas berlaku jika sudut yang digunakan sama. Artinya, tidak dapat dituliskan seperti sin2α + cos2b = 1. Pada suatu segitiga siku-siku, dua sudut lainnya pastilah sudut lancip. Tetapi penerapan penekanan sin2α + cos2α = 1, juga berlaku untuk lebih dari 90o. Misalnya, bila diberikan α = 240o, makasin2 240o + cos2 240o = 1−− =+=2231 31+22 44Dengan demikian, hasil pembahasan Masalah 4.9 di atas dapat disimpulkan dalam sifat berikut.
Matematika179Sifat 4.6Untuk setiap besaran sudut α, berlaku bahwaa. sin2α + cos2α = 1 ↔ sin2α = 1 – cos2 a atau cos2α = 1 – sin2αb. 1 + cot2α = csc2α↔ cot2α = csc2α – 1 atau csc2α – cot2α = 1c. tan2α + 1 = sec2α ↔ tan2α = sec2α – 1 atau tan2α – sec2α = 1Contoh 4.13Misalkan 0o < b < 90o dan tan b = 3Hitung nilai sin b dan cos b.Alternatif PenyelesaianDengan menggunakan definisi perbandingan dan identitas trigonometri, diperoleh cot b = 13.Akibatnya, 1 + cot2α = csc2α↔ 1 + 19 = csc2α↔109 = csc2α atau csc α = 1010=93 (Mengapa?)Karena sin b = β1csc , maka sin b = 13=1010103Dengan menggunakan tan2α + 1 = sec2α, diperoleh:32 + 1 = sec2α→ sec2α = 10 atau sec α = 10(Mengapa?)Karena cos b = β1csc , maka cos = b = 110=1010
Kelas X SMA/MA/SMK/MAK180Contoh 4.14Buktikan setiap persamaan berikut ini.a. (sec α – tan α) × (sec α – tan α) = 1 b. θθ ≠− θθ− θsec 1=, cos 01tan cos sin c. −θθ− θθ33= 6 sec . tan 1sin 1+ sin Alternatif Penyelesaiana. Kita harus dapat menunjukkan yang ada di ruas kanan dengan cara memodifikasi informasi yang ada di ruas kiri. Artinya(sec α – tan α) × (sec α – tan α) = sec2α – tan2αPada Sifat 4.6, tan2α + 1 = sec2α ↔ tan2α = sec2α – 1Dengan demikian terbukti bahwa: (sec α – tan α) × (sec α – tan α) = 1 b. Dengan memodifikasi informasi yang di ruas kiri, kita dapat menuliskan:sec 1tan=1cos 1sin cos =1cos cos cos sin cos θ−θθ−θθθθθ−θθθθθ×θ−θθ−θ=1cos 1cos cos sin =1cos sin ()()c) Dengan memodifikasi yang di ruas kiri, diperoleh: ()()()()()()θθ−−θ θ −θ θθ−θ3 1 + sin 3 1 - sin 33-=1 sin 1 + sin 1 sin 1 + sin 1 + sin 1 sin =31+sin 1sin ‚1+sin 31sin 1+sin 1sin θ−θ−−θθ−θ()()()()()()==3+3 sin 3+3 sin 1sin=6 sin 1sin22θ−θ−θθ−θKarena 1 – sin2θ = cos2θ, makaθθ××θ θ−θ θ−θθ22336 sin θ6 sin sin 1-===6=6 tan . sec 1 sin 1+ sin 1 sinθcos cos cosθ